8 Frequency Response Methods

 

 

어떤 선형시스템에

 

 

 

시스템의 근의 실수부

 

 모두 좌반면에 있다면

 가 되며 이것은 다시 역변환하여

 

 

 으로 볼수있으며

 

정리하면

 

어떤 선형 상계수 시스템(선형시불변시스템)에 정현파의 입력신호를 넣으면 출력 신호의 진폭과 위상차는 오로지 입력신호의 각주파수 w에 대한 함수이다. 그러므로 우리는 입력 정현파의 주파수를 다양하게 함으로서 어떤 시스템에대한 정상상태 응답을 조사 할 수 있다. 주파수 응답에 대한 이점은 다양한 진폭과 주파수 범위의 정현파 입력신호에 대해 시스템의 출력을 알수있다. 그러나 시간영역과 주파수영역간에 간접적인 관계로 인한 단점이 있다. 이 말은 간단하게 주파수응답과 시간영역에서의 과도 응답특성관계가 거의 없다라고 할수있으나 실제로 주파수응답특성은 다양한 설계 판별법으로 일반적으로 과도상태응답이 만족할만한 결과를 얻는다.

쉽게말해서 주파수응답과 시스템의 시간영역에서의 과도상태응답의 관계는 불분명하나 주파수응답의 어떤 기준을 만족하면 과도상태응답도 괜찮게 나온다.

 

푸리에변환과 라플라스변환은 비슷하게 생겼다 그러나 왜 주파수 영역을 볼때 라플라스변환은 쓰지 않나? 라플라스 변환은 우리에게 s평면에서의 전달함수의 극점과 영점의 위치를 알게 해주는데 주파수응답의 푸리에 변환은  s=sigma+jw 에서 실수부 sigma=0 은 우리에게 시스템의 위상과 진폭의 특성을 알게 해준다.

시스템의 s=jw를 넣은 결과를 실수부와 허수부로 나누어서 x,y축을 실수부 허수부로 그린것이 polar plot 이고 이 그래프는 단점이 시스템에 극점이나 영점이 추가되면 주파수응답계산을 다시 필요로 한다 

 bode plot은 진폭비를 로그단위로 그림으로서 추가되는 영점이나 극점이 있어도 더해주거나 빼주기만 하면 되므로 많이 사용된다. 이 bode plot에서 어떤 시스템의 전달함수 입력비가 -3.01dB이 되는 점을 cutoff 주파수라 하는데 어떤 입력신호에 대해 gain이 1/sqrt(2)가 되는지점은 에너지 관점에서 입력신호의 에너지의 절반이 되는 지점이고 이정도되면 입력신호에 대해 거의 영향이 없는 지점이라 약속의 개념. 여기서 x축 어떤 주파수에 대해 10배가되는 주파수를 decade라고하고 2배가 되는주파수를 octave라고 한다. 피아노로 가정하고 도에서 다음 도까지 주파수가 2배가 되는걸 생각하면된다. 또 도 도샾 레 레샾 미 파 파샾 솔 솔샾 라 라샾 시 도  한옥타브에 13건반이고 첫번째 도가 각주파수1이라면 다음 옥타브 도는 2이므로 1*2^(x-1/12) 으로  x번째 의 주파수를 구할수 있다. 실제로도 피아노 음계의 주파수를 기준음 A4 4옥타브 라를 440Hz로 기준으로 하며 조율을 한다.

어떤 시스템의 극점은 모두 좌반면에 있으나 영점이 우반면에 시스템에 영향이 끼칠정도일때 이러한 시스템을 비최소 위상 전달함수라 한다. 그리고 모든 영점이 좌반면에 있을때 이 시스템을 최소위상 시스템이라고 한다. 같은 극점과 같은 영점을 가지나 영점의 부호가 다른 전달함수의 그래프를 그리면 영점이 좌반면에 있는 최소 위상 시스템의 위상은w=0일떄 0도에서 시작하여 80도 아래의 범위까지 갔다가 다시 0도로 수렴하나

비최소 위상 시스템의 위상은 180도에서 시작하여 0도로 수렴한다.