푸리에/라플라스/웨이블릿 변환 [Fourier/Laplace/Wavelet Transform]

공학은 수학이라는 언어로 과학을 표 편하고 응용하여 더 기술적으로 발전을 꾀하는 학문입니다. 가끔 너무 수치적 결과에만 치중하여 기술적인 부분 외에 왜 이것을 하는 것인가? 에 대한 시간을 많이 가지지 못했습니다. 그래서 중간중간의 식이나 이러한 이론들 자체에 대해 많은 생각을 못했습니다.

 

그래서 여기서 책으로 또는 예제로 배울 수 있는 기술적인 부분보다 제가 많이 생각했던 사용하는 관점과 몇몇의 결론을 쓰게 되었습니다.

 

중고등 물리에서 일 [Work]부터 시작하겠습니다. 물리에서 일은 |A||B|cos(@)입니다. 자연현상에서 자기장, 힘 등등 크기와 방향으로 나타내 지는 것을 발견하고 벡터의 합또는 뺄셈으로 계산할 수 있는 것을 발견한 것은 인류입니다. 그러나 왜 이렇게 계산할 수 있는지 이해할 수 있는 것은 인류를 창조한 어떠한 존재가 있다면 바로 그 존재만이 알 수 있습니다.

 

물리에서의 일의 식은 간단하지만 2차원에서 x와 y는 서로 영향을 주지 않는다는 점을 이해해야 합니다. 내가 아무리 빨리 뛰어가더라도 날수 없듯이 내가 아무리 높이 뛰어도 앞으로 나갈 수 없습니다. 높이 뛰면서 앞으로 나갈 수 있는 것은 높이 뛰면서 나갈 수 있는 힘을 한 번에 준 것이지 그 힘은 서로 교환될 수 없습니다. [그러나 빛의 속도만큼 빨리 달리면 시간과 공간이 상호작용함을 아인슈타인이 발견했지만 일반적인 지구에서는 그렇게 빠른 속도로 달릴 경우가 많지 않으므로 점점 산으로 내용이]

 

그것처럼 푸리에/라플라스 변환은 우리가 어떠한 함수에 우리가 이미 알고 있는 신호를 내적함으로써 [이는 두 함수의 곱의 적분으로 나타난다] 원하는 정보만을 얻고자 하는 방법입니다.

 

제 경험으로는 라플라스 변환은 어떠한 시스템 자체에 대한 특성을 알아볼 때 사용됩니다. 허수부와 지수부로 이루어진 함수를 어떠한 함수와 내적함으로써 시스템의 허수부와 지수부의 상태를 표현하여 시스템의 입력에 대한 초기 상태를 정상상태를 예상할 수 있습니다. 이렇게 시스템이 분석이 되면 시스템은 재설계하거나 제어기 등으로 시스템의 특성을 조절할 수 있습니다. 

 

푸리에 변환은 주파수정보만 집중에서 보겠다는 의미입니다. 음성, 영상 자연계에 존재하는 거의 대부분에서 주파수라는 것이 포함되어있습니다. 제가 어느 글에서 말했듯이  실제 신호는 경계가 없이 많은 주파수로 이루어져 있습니다. 그러므로 이것을 실제적으로 분석하기 위해서는 원래의 신호를 원유를 증류하여 다양한 기름으로 분리하듯이 원래의 신호를 이산적으로 각각 뽑아내는 것입니다.

 

무슨 공학이든 마찬가지로 항상 정답이 없고 오직 trade-off 만 있을뿐입니다. 이렇게 좋은 변환들이지만 사실은 각각 한계점이 있고 상황에 따라 조건에 따라 사용되어야 합니다. 라플라스 변환은 그것이 사용될 수 있는 전제가 라플라스 변환을 할 신호또는 시스템이 선형 시불변이어야 합니다.

 

실제 자연계의 대부분은 비선형시스템입니다. 라플라스 변환을 통해 시스템을 분석하기 위해서는 그 시스템이 사용될 조건에서는 시스템이 변하지 않고 어떠한 입력에서라도 출력을 예측할 수 있다는 조건이 있어야 합니다. 이 조건은 보기에는 현실성도 없고 말도 되지 않는 조건입니다. 비유를 하자면 모터 하나에 3V전압을 걸었을 때 전류가 3A가 흘렀다면 1000년이 지나서 이 모터에 6V를 걸 때 전류가 6A가 흐른다는 것입니다. 그러나 우리가 사용하는 라플라스 변환에서 이러한 조건들은 1000년이 아니라 상대적으로 엄청 짧은 기간 몇 년 기준으로 본다면 이것은 대략적으로 맞는다 이것을 선형화라고 합니다.  그렇기 때문에 어떠한 시스템 또는 신호를 라플라스 변환으로 분석 또는 계산을 한다면 시스템에 대한 철저한 기준과 초기 조건 분석해야 합니다. [옴의 법칙 V=IR도 사실은 선형화 된 공식입니다.]

 

푸리에 변환은 신호나 시스템의 주파수 성분만을 추출해서 분석하기 때문에 시간에 대한 정보가 사라진다는 단점이 있습니다. 그렇기 때문에 어떠한 신호에서 어떠한 주파수 성분이 얼마큼 있는지는 알지만 이 주파수가 언제 어떻게 바뀌는지에 대한 정보를 전혀 알 수 없습니다.  

 

따라서 이것의 단점을 보완하고자 웨이브릿변환이 만들어졌습니다. 여기서는 또한 trade-off 또는 양자 학적 관점이 잘 나타납니다. 시간과 주파수 축으로 사용자의 기호에 따라 정해진 시간에 푸리에 변환을 하면 정해진 시간에 어떠한 주파수가 포함되어있는지 알 수 있습니다. 그러나 짧은 시간에는 대체로 고주파수가 많이 포함될 가능성이 있습니다. 간단하게 고주파 신호는 짧은 시간에도 정보가 많이 포함되고 반면 저주파에 대한 정보는 시간이 많아야 포함될 가능성이 많기 때문입니다. 이를 해상도라고 하며 사용자의 필요성에 의해 시간의 해상도를 높이면 주파수의 해상도가 낮아지고 반면 주파수의 해상도를 높이면 시간의 해상도가 낮아지는데 사용자의 기호에 따라 사용될 수 있다.